外国為替取引

フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
例えば「3, 6, 12, 24, 48. 」の数列で考えていきましょう。初項は3、公比は2です。
一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので
$a_ = 3 \times 2^$ となります。
$n=2$ の時、$3 \times 2^=3 \times 2 = 6$
$n=3$ フィボナッチ数列の一般項 の時、$3 \times 2^=3 \times 4 = 12$
$n=4$ の時、$3 \times 2^=3 \times 8 = 24$
これを一般化すると、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列における一般項は
$a_ = a \times r^$ となります。

フィボナッチ数列の一般項

(1) 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 \[\< F_n\>:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ. (2) 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_ = L_n+L_$ で定まる数列 \[\< L_n\>:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

ビネの公式

定理《ビネの公式》

ビネの公式の応用

定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》

定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》

定理《偶数番目のリュカ数》

ビネの公式により, \[\begin L_ &= \varphi ^+\tilde\varphi ^ = (\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)^2-2(\varphi\tilde\varphi )^n \\ &= L_n<>^2-2(-1)^n = L_n<>^2+2(-1)フィボナッチ数列の一般項 ^ \end\] が成り立つ.

高校数学の問題

問題《リュカ数を表す対称式の値》

$\alpha = \dfrac,$ $\beta = \dfrac$ について, \[\alpha +\beta, \quad フィボナッチ数列の一般項 \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.

問題《フィボナッチ数列の一般項と和》

$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく. また, 同様の方法で $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく. (1) $F_ = F_n+F_$ が成り立つことを示せ. (2) 数列 $\< F_-\alpha F_n\>,$ $\< F_-\beta F_n\>$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ を $1$ 組求めよ. (3) 数列 $\< F_n\>$ の一般項を求めよ. (4) 数列 $\< S_n\>$ の一般項を求めよ.

関数と極限

問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》

$F_1 = F_2 = 1,$ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は \[ F_n = \frac\left\<\left(\frac<1+\sqrt 5>\right) ^n-\left(\frac\right) ^n\right\>\] であることが知られている(証明はこちらを参照). この数列について, フィボナッチ数列の一般項 隣り合う項の比の極限 $\lim\limits_\dfrac$ を求めよ.

どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $

4 フィボナッチ数列の極限

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

5-1 フィボナッチ数列の一般項 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 著

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_\dfrac>=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

Related posts:

究進塾 編集局 東京・池袋にある究進塾の編集局です。受験指導のプロが大学受験に役立つ情報をお届けしています。 大学受験対策コースはこちらからご覧いただけます。

関連記事

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次
閉じる